উত্তল ও অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ করো r=2f proof in bengali

উত্তল ও অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ করো r=2f proof in bengali প্রমাণ করার জন্য অনুরূপ কোণ এবং বিপ্রতীপ কোণ সম্পর্কে জানা থাকতে হবে। অনুরূপ কোণ এবং বিপ্রতীপ কোণ সম্পর্কে না জানা থাকলে প্রমাণটা সঠিকভাবে বুঝতে পারবেন না।

অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ করো r=2f proof in bengali

অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ করো r=2f proof in bengali

ধরা যাক, MOM’ ছোট উন্মেষবিশিষ্ট একটি অবতল দর্পণের প্রধান ছেদ। C দর্পণের বক্রতার কেন্দ্র এবং O এর মেরু। ধরা যাক, প্রধান অক্ষ CO-এর নিকটবর্তী ও সমান্তরাল PM আলোক রশ্মি দর্পণের উপর M বিন্দুতে আপতিত হয়। CM যোগ করা হল। CM দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ বলে এটি M বিন্দুতে দর্পণের উপর লক্ষ্ম। এখন আপতন কোণ ∠PMC-এর সমান করে ∠CMF কোণ অঙ্কন করলে MF প্রতিফলিত রশ্মি পাওয়া যায়। এই প্রতিফলিত রশ্মি প্রধান অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে। সংজ্ঞানুসারে F অবতল দর্পণের প্রধান ফোকাস।
এখন প্রতিফলনের সূত্রানুসারে ∠PMC = ∠CMF

আবার PM এবং CO পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায় ∠PMC = ∠CMF [ একান্তর কোণ বলে ]।
বা, ∠CMF = <MCF
MCF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং MF = FC
এখন দর্পণের উন্মেষ খুব ছোট হওয়ায় M বিন্দুকে O বিন্দুর খুব কাছাকাছি ধরা যায়, ফলে MF = OF লেখা যায়।
OF = FC

অতএব, F, OC -এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং OF =(1/2) OC
এখন চিহ্নের বাস্তব ধনাত্মক প্রথানুসারে অর্থাৎ দর্পণের মেরু থেকে যে কোন বাস্তব দূরত্ব ধনাত্মক এবং অবাস্তব দূরত্ব ঋণাত্মক ধরে পাই-

ফোকাস দূরত্ব, OF = + f

এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ, OC = + r

অর্থাৎ অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব বক্রতার ব্যাসার্ধের অর্ধেক।

f=r2

r=2f

 

উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ করো r=2f. r=2f proof in bengali

উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে প্রমাণ করো r=2f proof in bengali

ধরা যাক, MOM ‘ছোট উন্মেষবিশিষ্ট একটি উত্তল দর্পণের প্রধান ছেদ । C দর্পণের বক্রতার কেন্দ্র এবং ০ এর মেরু। ধরা যাক প্রধান অক্ষ OC-এর নিকটবর্তী ও সমান্তরাল PM রশ্মি দর্পণের উপর M বিন্দুতে আপতিত হয়। CM যোগ করে N পর্যন্ত বাড়ানো হল। CM দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ বলে এটি M বিন্দুতে দর্পণের উপর লক্ষ্ম। এখন আপতন কোণ ∠PMN-এর সমান করে ∠NMA কোণ অঙ্কন করলে MA প্রতিফলিত রশ্মি পাওয়া যায়। এই প্রতিফলিত রশ্মিকে পিছন দিকে বাড়ালে প্রধান অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে। সংজ্ঞানুসারে F উত্তল দর্পণের প্রধান ফোকাস। এখন প্রতিফলনের সূত্রানুসারে ∠PMN = ∠NMA

আবার, PM ও OC পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায়, ∠PMN = ∠MCF [ অনুরূপ কোণ বলে ]

এবং ∠NMA = ∠CMF [বিপ্রতীপ কোণ বলে ]।

সুতরাং ∠CMF = ∠MCF

MCF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং MF = FC এখন দর্পণের উন্মেষ খুব ছোট হওয়ায় M বিন্দুকে O বিন্দুর খুব কাছাকাছি ধরা যায়। ফলে MF = OF লেখা যায়।

OF = FC

অর্থাৎ F, OC-এর মধ্যবিন্দু।

সুতরাং

OF=12OC

এখন চিহ্নের বাস্তব ধনাত্মক প্রথা অনুসারে অর্থাৎ দর্পণের মেরু থেকে যে কোন বাস্তব দূরত্ব ধনাত্মক এবং অবাস্তব দূরত্ব ঋণাত্মক ধরে পাই,

ফোকাস দূরত্ব, OF = -f

এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ, OC = – r

f=r2

f=r2

r=2f

অর্থাৎ উত্তল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব বক্রতার ব্যাসার্ধের অর্ধেক।

সুতরাং দেখা যায় যে, অবতল বা উত্তল অর্থাৎ যে কোন গোলীয় দর্পণের ফোকাস দূরত্ব বক্রতার ব্যাসার্ধের অর্ধেক।

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top